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《时间之问17》音乐的回归与数字

发布时间:2019-11-15 11:50编辑:音乐浏览(165)

    《时间之问》是一部作者和学生对话交流的“记录”,选取“时间”作为跨学科讨论的媒介,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国古代文化等不同学科,这些话题像一颗颗散落的珍珠,被“时间”这根主线串联起来。这里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大科学家,也会发现庄子、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。

    《时间之问17》音乐的回归与数字

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    《时间之问17》音乐的回归与数字

    2017-11-04 09:16 · 字数 6479 · 阅读 104 ·  时间之问-跨学科师生对话

    引子:音乐是关于感情、感觉的表达,而数字是理性、推理的体现。可是有人却说音乐的本质是数学?

    《时间之问》是一部作者和学生对话交流的“记录”,选取“时间”作为跨学科讨论的媒介,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国古代文化等不同学科,这些话题像一颗颗散落的珍珠,被“时间”这根主线串联起来。这里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大科学家,也会发现庄子、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。


    全部内容--> 《时间之问》 | 系列目录

    一周后,学生和老师在餐厅碰面了。

    《时间之问17》音乐的回归与数字

    “如果你有印象,上次我们说到希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras )学派,他们认为音乐的本质是数字。” 老师说到。(《时间之问16》漫漫回归路)

    引子:音乐是关于感情、感觉的表达,而数字是理性、推理的体现。可是有人却说音乐的本质是数学?

    “嗯,我们说过这一点。可是我不能同意这句话!” 学生争辩道。

    一周后,学生和老师在餐厅碰面了。

    “为什么呢?” 老师说道。

    “如果你有印象,上次我们说到希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras )学派,他们认为音乐的本质是数字。” 老师说到。(《时间之问16》漫漫回归路)

    “因为音乐是关于感情、感觉的表达,而数字是理性、推理的体现。如果说音乐和数字是两个居民的话,他们一定居住在一个国家的南北两端,可能一辈子都见不上一面,更别说建立联系了,不是吗?”

    “嗯,我们说过这一点。可是我不能同意这句话!” 学生争辩道。

    “你说的有道理,不过毕达哥拉斯学派自有他们的主张,他们认为两者之间的联系天经地义,他们甚至试图在音乐和数字之间建立一种内在的联系。” 老师说道。

    “为什么呢?” 老师说道。

    “他真是一个奇怪的人!我实在想不明白,麻烦你好好讲讲这是怎么一回事。”

    “因为音乐是关于感情、感觉的表达,而数字是理性、推理的体现。如果说音乐和数字是两个居民的话,他们一定居住在一个国家的南北两端,可能一辈子都见不上一面,更别说建立联系了,不是吗?”

    毕达哥拉斯在教音乐 (壁画《雅典学院》部分,现存梵蒂冈。Wikipedia)

    “你说的有道理,不过毕达哥拉斯学派自有他们的主张,他们认为两者之间的联系天经地义,他们甚至试图在音乐和数字之间建立一种内在的联系。” 老师说道。

    “好,让我们回到2500年前的欧洲。你应该知道,欧亚大陆的交接处一直是文明集中的地方。”

    “他真是一个奇怪的人!我实在想不明白,麻烦你好好讲讲这是怎么一回事。”

    “是的,一片蓝色的地中海把欧洲东部的希腊和亚洲西部连接在一起。”

    毕达哥拉斯在教音乐  (壁画《雅典学院》部分,现存梵蒂冈。Wikipedia)

    “对,那你一定还记得我们以前讲到的安提基特拉机械吧?毕达哥拉斯的故事就发生在这一地区。如果你站在希腊半岛向东南眺望,你会看到一片小岛林立的大海,它叫做爱琴海。” 老师说道。 ( 《时间之问11》发现安提基特拉机械)

    毕达哥拉斯在教音乐 (壁画《雅典学院》部分,现存梵蒂冈。Wikipedia)

    “哈,说到爱琴海,我非常喜欢碧蓝的爱琴海上的小岛,岛上依山而建的一座座白房子,安静地栖居在蓝天、大海和白云之间,就像一幅天然的画卷。听说爱琴海上有很多这样美丽的小岛,是吗?”

    “好,让我们回到2500年前的欧洲。你应该知道,欧亚大陆的交接处一直是文明集中的地方。”

    “对,爱琴海上的岛屿林林总总,仿佛上帝洒下的一串闪亮的珍珠,一点点把欧洲东部和亚洲西部连接起来,只要一艘木船就可以从其中一个岛屿渐渐航行到欧洲大陆。爱琴海上有一个岛屿叫做萨默斯岛,2500多年前毕达哥拉斯就出生在这个岛上。”

    “是的,一片蓝色的地中海把欧洲东部的希腊和亚洲西部连接在一起。”

    “哦,主角要出场了!”

    “对,那你一定还记得我们以前讲到的安提基特拉机械吧?毕达哥拉斯的故事就发生在这一地区。如果你站在希腊半岛向东南眺望,你会看到一片小岛林立的大海,它叫做爱琴海。” 老师说道。 ( 《时间之问11》发现安提基特拉机械)

    “毕达哥拉斯曾师从名家学习几何学、数学和哲学。年轻时去埃及和巴比伦游历,学习吸收了东西方的优秀文化。”

    “哈,说到爱琴海,我非常喜欢碧蓝的爱琴海上的小岛,岛上依山而建的一座座白房子,安静地栖居在蓝天、大海和白云之间,就像一幅天然的画卷。听说爱琴海上有很多这样美丽的小岛,是吗?”

    “那后来呢?”

    “对,爱琴海上的岛屿林林总总,仿佛上帝洒下的一串闪亮的珍珠,一点点把欧洲东部和亚洲西部连接起来,只要一艘木船就可以从其中一个岛屿渐渐航行到欧洲大陆。爱琴海上有一个岛屿叫做萨默斯岛,2500多年前毕达哥拉斯就出生在这个岛上。”

    “公元前520年左右,毕达哥拉斯来到意大利南部的克罗顿(Crotone,又名克罗托内),定居下来。”

    “哦,主角要出场了!”

    “克罗顿在意大利什么地方?”

    “毕达哥拉斯曾师从名家学习几何学、数学和哲学。年轻时去埃及和巴比伦游历,学习吸收了东西方的优秀文化。”

    凤凰彩票app,“如果把意大利比作一只踢足球的靴子,西西里岛是足球的话,那么克罗顿就是一座位于脚掌的沿海城市。坊间一直以来流传着一个关于他和音乐的故事,虽然真实性已经不可考了。”

    “那后来呢?”

    意大利海滨城市克罗顿Crotone (Wikipedia)

    “公元前520年左右,毕达哥拉斯来到意大利南部的克罗顿(Crotone,又名克罗托内),定居下来。”

    “不妨讲讲”, 学生说道,“如果故事有意思的话。”

    “克罗顿在意大利什么地方?”

    “那好。也许你在其它地方也会找到类似版本的故事,情节多少有些出入,但是重要的不是故事细节,而是毕达哥拉斯所发现的数学和音乐的关系。”

    “如果把意大利比作一只踢足球的靴子,西西里岛是足球的话,那么克罗顿就是一座位于脚掌的沿海城市。坊间一直以来流传着一个关于他和音乐的故事,虽然真实性已经不可考了。”

    “好,请讲吧。”

    意大利海滨城市克罗顿Crotone (Wikipedia)

    “故事是这样的:有一天毕达哥拉斯在街市上行走,路过一家铁匠铺,听到打铁铺子里传出铿锵有力、节奏明快的叮叮当当的声音,偶尔会听到一声很特别的声音,吸引了他的注意力。”

    意大利海滨城市克罗顿Crotone (Wikipedia)

    “是一种什么声音吸引了他?”

    “不妨讲讲”, 学生说道,“如果故事有意思的话。”

    “虽然毕达哥拉斯是一名数学家,但是他对“美” 有着一颗异常敏感的心,他心生好奇:这声音是怎么发出来。于是停下脚步,走向路边的一间铁匠铺,门口红通通的炉火映照在一位老者沧桑的脸颊上,也映照在一位年轻小伙子稚嫩的额头上,两人的脸因为汗水映照炉火显得满面红光。打铁的是师徒二人,他们先把铁器先在炉火里烧红,然后合力搬到大铁墩上,老师傅抡小锤、学徒抡大锤,不停敲打锻造铁器,按照客人的要求锻造成不同的工具或者兵器。”

    “那好。也许你在其它地方也会找到类似版本的故事,情节多少有些出入,但是重要的不是故事细节,而是毕达哥拉斯所发现的数学和音乐的关系。”

    “嗯,打铁需要好体力。”

    “好,请讲吧。”

    “师徒二人目光如炬,全身心地投入抡锤敲打,丝毫没有觉察到旁边站着的毕达哥拉斯。当两人同时抡起锤子砸到铁块上时,会发出一种和单独砸下去不一样的声音,听起来很独特。 毕达哥拉斯静静地看着师徒抡锤,咂摸这这种独特的声音,仿佛进入无人之境。”

    “故事是这样的:有一天毕达哥拉斯在街市上行走,路过一家铁匠铺,听到打铁铺子里传出铿锵有力、节奏明快的叮叮当当的声音,偶尔会听到一声很特别的声音,吸引了他的注意力。”

    “毕达哥拉斯也入迷了?”

    “是一种什么声音吸引了他?”

    “突然,他的嘴角露出了一丝不易察觉的微笑,一转身神秘地走了。”

    “虽然毕达哥拉斯是一名数学家,但是他对“美” 有着一颗异常敏感的心,他心生好奇:这声音是怎么发出来。于是停下脚步,走向路边的一间铁匠铺,门口红通通的炉火映照在一位老者沧桑的脸颊上,也映照在一位年轻小伙子稚嫩的额头上,两人的脸因为汗水映照炉火显得满面红光。打铁的是师徒二人,他们先把铁器先在炉火里烧红,然后合力搬到大铁墩上,老师傅抡小锤、学徒抡大锤,不停敲打锻造铁器,按照客人的要求锻造成不同的工具或者兵器。”

    “他有了一个奇妙的想法?”

    “嗯,打铁需要好体力。”

    “第二天,毕达哥拉斯又回来了,他请求铁匠看一下昨天打铁用的锤子,并量了它们的重量,并请求铁匠配合他做一些实验,试试不同锤子两两组合同时捶打,什么情况下会发出独特悦耳的声音。”

    “师徒二人目光如炬,全身心地投入抡锤敲打,丝毫没有觉察到旁边站着的毕达哥拉斯。当两人同时抡起锤子砸到铁块上时,会发出一种和单独砸下去不一样的声音,听起来很独特。 毕达哥拉斯静静地看着师徒抡锤,咂摸这这种独特的声音,仿佛进入无人之境。”

    “他有什么发现吗?”

    “毕达哥拉斯也入迷了?”

    “毕达哥拉斯发现有四种锤子两两组合同时击打铁器会发出和谐的声音,分别是12磅,9磅,8磅和6磅。”

    “突然,他的嘴角露出了一丝不易察觉的微笑,一转身神秘地走了。”

    “这四个数有什么特别之处吗?”

    “他有了一个奇妙的想法?”

    “如果它们两两相减,似乎并没有什么有规律的东西。”

    “第二天,毕达哥拉斯又回来了,他请求铁匠看一下昨天打铁用的锤子,并量了它们的重量,并请求铁匠配合他做一些实验,试试不同锤子两两组合同时捶打,什么情况下会发出独特悦耳的声音。”

    “是的。”

    “他有什么发现吗?”

    “可是这不要紧,毕达哥拉斯认为数与数之间最重要的关系,不是相减,而是相除,也就是两个数之间的比值更重要!”

    “毕达哥拉斯发现有四种锤子两两组合同时击打铁器会发出和谐的声音,分别是12磅,9磅,8磅和6磅。”

    “是吗?我算算看,12,9,8,6,它们之间的比值分别是:”

    “这四个数有什么特别之处吗?”

    12:6 = 2:1
    12:8 = 9:6 = 3:2
    12:9 = 8:6 = 4:3
    9:8

    “如果它们两两相减,似乎并没有什么有规律的东西。”

    “这几个比值和音乐有关系吗?” 学生问道。

    “是的。”

    “毕达哥拉斯非常擅于联想。他想到了他很喜欢的乐器--当时非常流行的里拉琴,从里拉琴里毕达哥拉斯获得了灵感。”

    “可是这不要紧,毕达哥拉斯认为数与数之间最重要的关系,不是相减,而是相除,也就是两个数之间的比值更重要!”

    “里拉琴是什么?”

    “是吗?我算算看,12,9,8,6,它们之间的比值分别是:”

    “里拉琴曾是西方弦乐之母。最常见的有7根弦,便于携带,游吟诗人经常带着它弹唱。如果有两个相同长度的琴弦,把其中一根弦从中间按住,弹奏剩下的一半琴弦,那么声音会变高。通常叫做声音提高了八度。”

    12:6 = 2:1

    里拉琴Lyre (Wikipedia)

    12:8 = 9:6 = 3:2

    “嗯,能够想象出来,弹吉他是类似的。”

    12:9 = 8:6 = 4:3

    “如果一个琴弦按住1/3处,弹奏剩下的2/3琴弦,琴声也会变高,但是没有刚才那么高,只提高了五度。”

    9:8

    “嗯,也就是说琴弦越短,音调越高?” 学生问到。

    “这几个比值和音乐有关系吗?” 学生问道。

    “对,我们可以猜测琴弦的长度和音高刚好成反比,你同意吗?”

    “毕达哥拉斯非常擅于联想。他想到了他很喜欢的乐器--当时非常流行的里拉琴,从里拉琴里毕达哥拉斯获得了灵感。”

    “直觉上是这样的。”

    “里拉琴是什么?”

    “这是弹奏一根琴弦的情况。如果同时弹奏两根不同长度的琴弦,情况就不一样了。”

    “里拉琴曾是西方弦乐之母。最常见的有7根弦,便于携带,游吟诗人经常带着它弹唱。如果有两个相同长度的琴弦,把其中一根弦从中间按住,弹奏剩下的一半琴弦,那么声音会变高。通常叫做声音提高了八度。”

    “哦,同时拨动两根琴弦吗?怎么不一样了?”

    里拉琴Lyre  (Wikipedia)

    “如果精心挑选两根琴弦长度,同时弹奏它们,有时候你会听到一声非常好听的声音,远远超过了弹奏一根琴弦的声音。人们把这种声音叫做和声。例如两根琴弦长度比是2:1,那么它们发出的和声非常和谐好听。”

    里拉琴Lyre (Wikipedia)

    “我也想听一听,可是这里没有琴。”

    “嗯,能够想象出来,弹吉他是类似的。”

    “没关系,我们可以用手机来模拟一下。”老师拿出手机,打开一个程序,出现了一台钢琴的界面。老师用手同时按下中音和高音1,发出一个和声。在钢琴里,高音1和低音1后面的琴弦长度比是2:1。”

    “如果一个琴弦按住1/3处,弹奏剩下的2/3琴弦,琴声也会变高,但是没有刚才那么高,只提高了五度。”

    “嗯,是很和谐。那如果随便挑两个琴键一起按下呢?” 学生问道。

    “嗯,也就是说琴弦越短,音调越高?” 学生问到。

    老师同时按下中音的1和2,发出的声音有点刺耳。

    “对,我们可以猜测琴弦的长度和音高刚好成反比,你同意吗?”

    “有点意思。可是这和毕达哥拉斯发现的铁锤有什么关系呢?”

    “直觉上是这样的。”

    “对于铁锤来说,12磅和6磅锤子的重量之比正是2:1,所以它们同时击打铁砧也会发出很和谐的声音!”

    “这是弹奏一根琴弦的情况。如果同时弹奏两根不同长度的琴弦,情况就不一样了。”

    “哦,原来如此!”

    “哦,同时拨动两根琴弦吗?怎么不一样了?”

    毕达哥拉斯调试乐器 (Wikipedia)

    “如果精心挑选两根琴弦长度,同时弹奏它们,有时候你会听到一声非常好听的声音,远远超过了弹奏一根琴弦的声音。人们把这种声音叫做和声。例如两根琴弦长度比是2:1,那么它们发出的和声非常和谐好听。”

    “如果你同意的话,每个人听一首曲子,最基本的要求是所有音符顺序弹出来后感到和谐,而不希望突然冒出一个音符听起来很突兀。” 老师说道。

    “我也想听一听,可是这里没有琴。”

    “同意,这是最基本的要求。”

    “没关系,我们可以用手机来模拟一下。”老师拿出手机,打开一个程序,出现了一台钢琴的界面。老师用手同时按下中音和高音1,发出一个和声。在钢琴里,高音1和低音1后面的琴弦长度比是2:1。”

    “可是如果一个里拉琴的演奏者不小心按到了一个错误的位置,就会发出很不和谐的声音。或者一个作曲家随便写一个音符,弹奏出来就会很不好听。你是不是觉得我们有必要创建一些规则来避免这些情况?”

    “嗯,是很和谐。那如果随便挑两个琴键一起按下呢?” 学生问道。

    “嗯,是很有必要。那如何创建规则呢?”

    老师同时按下中音的1和2,发出的声音有点刺耳。

    “我们可以先从最基本的需求开始,即任何两个音符之间听起来都是和谐的。如果我们有了一个中音1,那么希望其它任意一个音符和这个中音1之间是和谐的。”

    “有点意思。可是这和毕达哥拉斯发现的铁锤有什么关系呢?”

    “嗯,这样就保证无论这个音是紧随着中音1还是和中音1同时弹奏,都不会出现奇怪的声音。可是怎么实现呢?”

    “对于铁锤来说,12磅和6磅锤子的重量之比正是2:1,所以它们同时击打铁砧也会发出很和谐的声音!”

    “诀窍就是---- “和声”!” 老师说到。

    “哦,原来如此!”

    “和声?”

    毕达哥拉斯调试乐器 (Wikipedia)

    “对,例如从一个中音1的琴弦出发,把琴弦缩短一半,频率变为2倍,就可以得到八度和声,这样我们就找到了高音1。这两个音的琴弦长度比是2:1,刚好和12磅和6磅的铁锤的重量比一样。”

    毕达哥拉斯调试乐器 (Wikipedia)

    “嗯,这一步很简单,那其它的音符怎么产生呢?”

    “如果你同意的话,每个人听一首曲子,最基本的要求是所有音符顺序弹出来后感到和谐,而不希望突然冒出一个音符听起来很突兀。” 老师说道。

    “我们接下来可以找到中音1的琴弦的2/3长度,这个音听起来也很和谐。”

    “同意,这是最基本的要求。”

    “这个音叫什么呢?”

    “可是如果一个里拉琴的演奏者不小心按到了一个错误的位置,就会发出很不和谐的声音。或者一个作曲家随便写一个音符,弹奏出来就会很不好听。你是不是觉得我们有必要创建一些规则来避免这些情况?”

    “这个音比中音1高五度。”

    “嗯,是很有必要。那如何创建规则呢?”

    “等等,请打住一下,我听得有点晕了”,学生等不及地说道,“琴弦长度折半,声音就高了8度,可是长度变成2/3,声音却高了5度,这是怎么回事?毕达哥拉斯的数学不是很严谨吗?我在这里怎么看不到数字之间的逻辑关系呢?”

    “我们可以先从最基本的需求开始,即任何两个音符之间听起来都是和谐的。如果我们有了一个中音1,那么希望其它任意一个音符和这个中音1之间是和谐的。”

    “你问的有道理。这些八度、五度的名称可不是数学家起的,而且已经约定成俗了,这样吧,我们先这样记住,以后等我们创造了更多的音符,那时再解释就容易理解了,可以吗?”

    “嗯,这样就保证无论这个音是紧随着中音1还是和中音1同时弹奏,都不会出现奇怪的声音。可是怎么实现呢?”

    “好吧,那接下来还能创造哪些音符呢?”

    “诀窍就是---- “和声”!” 老师说到。

    “如果琴弦变短为3/4,弹出来的音符比原来高四度,对应于12:9或者8:6的铁锤租组合。”

    “和声?”

    “好的。最后还有一个9:8的组合叫几度?”

    “对,例如从一个中音1的琴弦出发,把琴弦缩短一半,频率变为2倍,就可以得到八度和声,这样我们就找到了高音1。这两个音的琴弦长度比是2:1,刚好和12磅和6磅的铁锤的重量比一样。”

    “9:8叫纯二度。以此类推,我们可以不断生成新的音符,而这些新音符和前面生成的音符是比值关系,这样就可以保证所有的音符听起来很和谐。”

    “嗯,这一步很简单,那其它的音符怎么产生呢?”

    12:6=2:1 --> 纯八度音
    12:8=9:6=3:2 --> 纯五度音
    12:9=8:6=4:3 --> 纯四度音
    9:8 --> 纯二度音

    “我们接下来可以找到中音1的琴弦的2/3长度,这个音听起来也很和谐。”

    “在这几种比例里面,所有的音听起来都是一样和谐吗?还是有些听起来更和谐?” 学生问道。

    “这个音叫什么呢?”

    “不一样,一般来说八度是听起来最和谐的,接下来是纯五度和纯四度,最后是纯二度。。”

    “这个音比中音1高五度。”

    “为什么是这样呢?有什么规律吗?”学生一边说一边想,“你先别说,让我想一想。”

    “等等,请打住一下,我听得有点晕了”,学生等不及地说道,“琴弦长度折半,声音就高了8度,可是长度变成2/3,声音却高了5度,这是怎么回事?毕达哥拉斯的数学不是很严谨吗?我在这里怎么看不到数字之间的逻辑关系呢?”

    “好的,我等你。”老师微笑着说道。

    “你问的有道理。这些八度、五度的名称可不是数学家起的,而且已经约定成俗了,这样吧,我们先这样记住,以后等我们创造了更多的音符,那时再解释就容易理解了,可以吗?”

    “让我看看,八度的比例是2:1,纯五度的比值3:2,纯四度的比例是4:3,纯二度的比值是9:8。”

    “好吧,那接下来还能创造哪些音符呢?”

    “是的。”

    “如果琴弦变短为3/4,弹出来的音符比原来高四度,对应于12:9或者8:6的铁锤租组合。”

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